B 样条（B-spline）是一种数学曲线，用于描述复杂的几何形状。它是一种 Piecewise polynomial 的曲线，即由多个小曲线段组成，每个曲线段都是一个多项式函数。
定义
B 样条是一种 parametric curve，定义为：
$$\mathbf{C}(t) = \sum_{i=0}^n \mathbf{P}_i B_i(t)$$
其中：
- $\mathbf{C}(t)$ 是 B 样条曲线
- $\mathbf{P}_i$ 是控制点（control point）
- $B_i(t)$ 是基函数（basis function）
- $n$ 是控制点的数量
- $t$ 是参数（parameter），取值范围为 $[0, 1]$
基函数
基函数 $B_i(t)$ 是一个 Piecewise polynomial 函数，定义为：
$$B_i(t) = \begin{cases} 1 & t \in [t_i, t_{i+1}) \ 0 & t \notin [t_i, t_{i+1}) \end{cases}$$
其中 $t_i$ 是节点（knot），满足 $t_0 = 0$，$t_n = 1$。
性质
B 样条曲线有以下性质：
- 连续性：B 样条曲线是连续的，即曲线的每个点都是连续的。
- 可微分性：B 样条曲线是可微分的，即曲线的每个点都是可微分的。
- 局部控制性：B 样条曲线的形状可以通过控制点的移动来控制。
*_piecewise polynomial 性：B 样条曲线是 Piecewise polynomial 的，即曲线可以被分解成多个小曲线段，每个曲线段都是一个多项式函数。
应用
B 样条曲线有很多应用，例如：
- 计算机辅助设计（CAD）：B 样条曲线用于描述复杂的几何形状。
- 计算机图形学（CG）：B 样条曲线用于生成曲线和曲面。
- 机器人学：B 样条曲线用于描述机器人的运动轨迹。
- 医疗图像处理：B 样条曲线用于描述医疗图像中的曲线和曲面。
总之，B 样条曲线是一种强大的数学工具，用于描述复杂的几何形状。它有很多应用领域，并且是计算机科学和工程学中的一种重要技术。