B 样条(B-spline)是一种数学曲线,用于描述复杂的几何形状。它是一种 Piecewise polynomial 的曲线,即由多个小曲线段组成,每个曲线段都是一个多项式函数。
定义
B 样条是一种 parametric curve,定义为:
$$\mathbf{C}(t) = \sum_{i=0}^n \mathbf{P}_i B_i(t)$$
其中:
- $\mathbf{C}(t)$ 是 B 样条曲线
- $\mathbf{P}_i$ 是控制点(control point)
- $B_i(t)$ 是基函数(basis function)
- $n$ 是控制点的数量
- $t$ 是参数(parameter),取值范围为 $[0, 1]$
基函数
基函数 $B_i(t)$ 是一个 Piecewise polynomial 函数,定义为:
$$B_i(t) = \begin{cases} 1 & t \in [t_i, t_{i+1}) \ 0 & t \notin [t_i, t_{i+1}) \end{cases}$$
其中 $t_i$ 是节点(knot),满足 $t_0 = 0$,$t_n = 1$。
性质
B 样条曲线有以下性质:
- 连续性:B 样条曲线是连续的,即曲线的每个点都是连续的。
- 可微分性:B 样条曲线是可微分的,即曲线的每个点都是可微分的。
- 局部控制性:B 样条曲线的形状可以通过控制点的移动来控制。
*_piecewise polynomial 性:B 样条曲线是 Piecewise polynomial 的,即曲线可以被分解成多个小曲线段,每个曲线段都是一个多项式函数。
应用
B 样条曲线有很多应用,例如:
- 计算机辅助设计(CAD):B 样条曲线用于描述复杂的几何形状。
- 计算机图形学(CG):B 样条曲线用于生成曲线和曲面。
- 机器人学:B 样条曲线用于描述机器人的运动轨迹。
- 医疗图像处理:B 样条曲线用于描述医疗图像中的曲线和曲面。
总之,B 样条曲线是一种强大的数学工具,用于描述复杂的几何形状。它有很多应用领域,并且是计算机科学和工程学中的一种重要技术。